การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิก

(Simple Harmonic Motion)


1. การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย

เมื่อพิจารณาการเคลื่อนที่ของมวลที่ติดปลายสปริง ซึ่งวางบนพื้นที่ไม่มีแรงเสียดทาน ดึงมวลด้วยแรง F แล้วปล่อย มวลที่ติดปลายสปริงจะเคลื่อนที่กลับไปกลับมา ผ่านตำแหน่งสมดุลเดิมได้โดยไม่มีแรงภายนอกมากระทำ แต่ เคลื่อนที่ด้วยแรงดึงกลับของสปริงซึ่งมีค่าแปรผันตามการขจัดของสปริง โดยที่การกระจัด , ความเร็ว , ความเร่ง , พลังงานจลน์และพลังงานศักย์ มีค่าดังนี้

1.1 การกระจัด

..............(1)

เมื่อ

เมื่อนำสมการที่ (1) มาแทนค่าเวลา (t) ด้วยคาบ (T) ของการเคลื่อนที่ และมุมเฟสเริ่มต้น 0 เรเดียน

จะได้ลักษณะ Sine curve ดังรูป

1.2 ความเร็ว ที่เวลาใดๆ

...........(2)

และ

............(3)

นั่นคือ การเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกอย่างง่าย ที่ตำแหน่งการขจัดสูงสุดจะมีความเร็วเป็น 0 และมีความเร็วมากที่สุด ที่ตำแหน่งสมดุล

1.3 ความเร่งที่เวลาใดๆ

.............(4)

.............(5)

1.4 พลังงานจลน์ของการเคลื่อนที่

ที่ตำแหน่งใดๆ พลังงานจลน์ มีค่าดังนี้

.............(6)

1.5 พลังงานศักย์ของการเคลื่อนที่

ที่ตำแหน่งใดๆ พลังงานศักย์มีค่า ดังนี้

.............(7)

2. ลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย (Simple pendulum)

ให้มวล m ผูกเชือก เคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกโดยพิจารณาจากการขจัดเชิงมุม ได้ดังนี้

......................(8)

..................(9)

3. ลูกตุ้มฟิสิคัล (Physical Pendulum)

ให้วัตถุแข็งเกร็งรูปร่างใดๆ แกว่งในแนวดิ่งกลับไปกลับมารอบจุดหมุน ขณะที่วัตถุเคลื่อนที่จะมีแรงดึงกลับ ทำให้เกิดทอร์คดึงกลับ โดยที่ การกระจัดเชิงมุม เป็นดังนี้

..................(10)

และ

..................(11)

4. จุดศูนย์กลางการแกว่งหรือจุดศูนย์กลางการกระแทก (Center of Oscillation or Center of Percussion)

เมื่อวัตถุแข็งเกร็งอันหนึ่งแกว่งแบบลูกตุ้มฟิสิคัล ด้วยคาบการแกว่ง

และให้พิจารณาวัตถุชิ้นนี้มีคาบการแกว่งแบบลูกตุ้มนาฬิกา ด้วยคาบการแกว่ง

ถ้าคาบการแกว่งทั้งสองมีค่าเท่ากัน ได้ว่า

................(12)

ซึ่ง เป็นระยะจากจุดหมุน ไปยังตำแหน่งที่เสมือนเป็นที่รวมของมวลทั้งหมดของวัตถุ ที่ทำหน้าที่เป็นมวลของ ลูกตุ้มนาฬิกาอย่างง่าย ซึ่งเรียกตำแหน่งนี้ว่าจุดศูนย์กลางการแกว่งและสำหรับวัตถุชิ้นเดิม เมื่อนำจุดศูนย์กลาง การแกว่งมาเป็นจุดหมุนจะได้คาบการแกว่งเท่ากับคาบการแกว่งเดิม ถ้าออกแรงผลักลูกตุ้มที่จุดศูนย์กลาง การแกว่ง จะไม่มีแรงกระแทกเกิดขึ้นกับจุดที่ถูกแรงผลัก เรียกจุดนี้ว่าจุดศูนย์กลางการกระแทกได้เช่นเดียวกัน

5. ลูกตุ้มทอร์ชัน (Torsion Pendulum)

ให้วัตถุแข็งเกร็งผูกติดกับเส้นลวดแล้วแกว่งกลับไปกลับมาในแนวราบด้วยมุม q ที่มีค่าน้อยๆ ขณะที่วัตถุถูกบิดไป จะเกิดแรงดึงกลับหรือโมเมนต์ดึงกลับ โดยมีการกระจัด ดังนี้

.............(13)

และ

.............(14)

6. การแกว่งแบบถูกหน่วง (Damped Harmonic Motion)

ในการเคลื่อนที่แบบฮาร์โมนิกนั้นจะเป็นแบบอย่างง่ายได้ ในกรณีที่แอมปลิจูดของการเคลื่อนที่ตลอดเวลา แต่ในความเป็นจริง ขณะวัตถุเคลื่อนที่จะมีแรงภายนอกมากระทำ ซึ่งอาจเป็นแรงต้านของอากาศหรือแรง เสียดทานระหว่างพื้นผิว ทำให้แอมปลิจูดของการเคลื่อนที่ไม่คงที่ตลอดเวลา แอมปลิจูดมีค่าลดลงเรื่อยๆ จนเป็นศูนย์และทำให้วัตถุหยุดนิ่ง เรียกว่าเป็นการแกว่งแบบถูกหน่วง

จะได้สมการการเคลื่อนที่ ดังนี้

..........(16)

ชนิดของการแกว่งแบบถูกหน่วง

  1. Over Damp
  2. นิยาม เกิดเมื่อจะไม่มีการแกว่งเกิดขึ้น

  3. Under Damped
  4. นิยาม เกิดเมื่อ การแกว่งจะมีการแกว่งไปมาหลายครั้งจึงจะหยุด

  5. Critical Damped

    นิยาม เกิดเมื่อ การแกว่งจะหยุดนิ่ง ภายในเวลาที่สั้นที่สุด

7. การแกว่งแบบถูกแรงกระทำ (Forced Vibration; Driven Harmonic Motion)

เป็นการแกว่งที่มีแรงกระทำต่อวัตถุตลอดเวลาเพื่อเป็นการชดเชยแรงหน่วงของตัวกลาง

สมการการเคลื่อนที่

..............(17)

............(18)

8. การกำทอนของการแกว่ง

เป็นการแกว่งที่มีความถี่เชิงมุมของแรงภายนอกเท่ากับความถี่เชิงมุมธรรมชาติของวัตถุนั้น นั่นคือ